Binaire

L’adjectif Binaire fait référence au système de numération de base 2.
Par extension, dans le langage commun, est binaire ce qui n’accepte qu’une alternative simple : Vrai/Faux ; Oui/Non ; Bon/Mauvais ; Juste/Injuste ; Blanc/Noir ; Marche/Arrêt; Yin/Yang ; etc.

Le système binaire est associé à l’Informatique car c’est celui qui est à la base du fonctionnement de nos équipements électroniques, le système binaire étant le plus simple pour effectuer des calculs au travers de composants électroniques.
Toute intelligence Numérique utilise un système de codage binaire :

• un code binaire est composé de mots binaires.
• Un mot binaire comporte d’un nombre défini de caractères (ou positions). Ainsi un Octet comporte 8 positions.
• Chacune des positions ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. En informatique, une position dans un mot binaire est communément appelée Bit, terme issu de la contraction de l’anglais « Binary Digit» ou position binaire.

L’état d’une position binaire (0 ou 1) peut facilement être constaté électroniquement : un interrupteur est-il ouvert ? Constate-t-on une tension ? Vrai/Oui=1 ; Faux/Non=0.
Un calcul électronique résulte de l’analyse de constats physiques en chaîne combinant des Opérateurs Logiques Booléens, basés sur la Théorie des Ensembles.

Cet article n’est qu’une introduction rapide aux concepts de base de numération et de typologie des Données.

Le système de numération simple en base n

Pour compter, nous utilisons au quotidien le système décimal, autrement dit, nous calculons en base 10 (n = 10).
Le système décimal comporte 10 chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.
Pour multiplier un nombre par 10, on rajoute un 0 à sa droite : 7 x 10 = 70
Pour multiplier un nombre par 100 (10²),  on rajoute 2 zéros à sa droite : 5 x 100 = 500
Pour multiplier un nombre par 10ⁿ,  on rajoute n zéros à sa droite.
Ainsi, le nombre décimal 1578 = (1 x 10³) + (5 x 10²) + (7 x 10¹) + (8 x 10⁰)
1578 = 1000 + 500 + 70 + 8

Bâti sur le même principe, le système binaire en base 2 (n = 2), ne comporte que 2 chiffres : 0 ; 1.
le nombre binaire 10011 = (1 x 2⁴) +  (0 x 2³) +  (0 x 2²) +  (1 x 2¹) +  (1 x 2⁰) = 10000 + 10 + 1
Soit, traduit en décimal = 2⁴ + 2 + 1 = 16 + 2 + 1 = 19

Le tableau qui suit met en correspondance les nombres de 1 à 20 du système décimal et leur conversion binaire :

Un exercice pratique : la multiplication de 2 nombres entiers

Multiplication de deux entiers dans le système décimal :
Soit deux nombres entiers a=77 et b=39 (en numération décimale)
Pour calculer le produit de a par b, un élève formé à la multiplication devra connaître la funeste table de 7,  hantise des écoliers.
Le schéma ci-dessous rappelle une méthode scolaire bien connue pour réaliser une multiplication (c’est, sans qu’on en est conscience, l’application d’un Algorithme).

Multiplication de deux entiers dans le système binaire :
En binaire, a = 1001101, soit en décimal = 2⁶+ 0 + 0 + 2³+ 2²+ 0 +1 = 64 + 8 + 4 +1 = 77
En binaire, b = 100111, soit en décimal = 2⁵+ 0 + 0 + 2²+ 2 +1 = 32 + 4 + 2 +1 = 39

Si l’on appliquait la même méthode que précédemment pour multiplier les deux valeurs binaires a et b, le schéma ci-dessous représenterait les étapes du calcul :

Vérification (pour les sceptiques invétérés) :
a x b= 101110111011 en binaire,
soit en décimal = 2¹¹+ 2⁹+2⁸+2⁷+2⁵+2⁴+2 +1
a x b= 2048 + 512 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 2 +1 = 3003

Comme on le constate, multiplier en système binaire n’exige la connaissance que d’une table de multiplication, celle de  1 :
0 x 1 = 0 ; 1 x 1 = 1

Notes :

• Un lecteur puriste m’a indiqué une erreur quand, dans la décomposition de la multiplication en système binaire, j’écris par exemple : « Total des « 2⁵aines« =11, je pose 1 et je retiens 1 ».
  Il a raison : en binaire, le chiffre 2 s’écrit 10 et le chiffre 5 s’écrit 101. J’aurais dû faire mention des « 10¹⁰¹aines» (… quoi que je ne sois pas certain que l’explication aurait gagné en clarté).
• L’algorithme qui permet à un Microprocesseur de multiplier 2 nombres n’est pas celui repris dans cet exemple. L’objectif était ici de laisser entrevoir un début d’explication à l’affirmation péremptoire de la définition de départ : « le système binaire [est] le plus simple pour effectuer des calculs au travers de composants électroniques ».
  Ce qui est appelé plus haut dans cet article « la table de multiplication par 1  » est instancié par la Fonction Logique Booléenne ET, et réalisée par des composants électroniques.

Les types de Données et les systèmes de codage :

Restons sur le précédent exemple qui s’intéressait aux opérations arithmétiques en prenant l’exemple de la multiplication de 2 nombres entiers.
Un système de numération doit prendre en compte une typologie plus élaborée. Plusieurs types de codages ont été normalisés, parmi lesquels:

• Les nombres entiers courts (non signés) ;
• Les nombres entiers longs (non signés) ;
• Les nombres entiers relatifs courts (signés) ;
• Les nombres entiers relatifs longs (signés) ;
• Les nombres réels (avec des décimales, exemple : 18,25) ;
• Les nombres réels avec virgules flottantes.

Il revient au concepteur/développeur d’une Application Informatique d’attribuer aux variables de ses opérations arithmétiques le type qui optimisera l’espace et le temps de calcul, tout en garantissant la pertinence du résultat.

La représentation de quantités n’est qu’un exemple de codage.
Il existe bien d’autres types applicables par exemple à la notation musicale, à la notation phonétique, au code Braille, à la typographie des nombreuses écritures par le monde (arabe, cyrillique , grecque, indienne, japonaise, chinoise, etc.)
Mentionnons aussi le codage numérique des images et des couleurs, la numérisation des sons ou celle des vidéos, chaque domaine donnant lieu à plusieurs systèmes de codages binaires différents.